1930年11月6日，常宝华出生于天津市，自幼随父亲常连安、兄长常宝堃学习相声。1938年，到北京西单商场启明茶社相声大会当学徒。
1939年，开始登台表演。1942年，参与电影《锦绣歌城》《花田八错》的拍摄。1949年，参加相声改进小组，整理编写的相声《字象》为其处女作。
1950年，常宝华加入北京北城游艺社，除了演相声之外，还演出文明戏，反串京剧。1951年，加入“天津市曲艺工作团”。同年，拜相声演员马三立为师。同年，常宝堃在抗美援朝战争中不幸牺牲，他继承兄长遗志，报名赴朝鲜慰问演出。
1953年，参加抗美援朝慰问演出回国后，决定参军，随即进入“海政文工团”工作。1955年，获海军直属机关先进工作者称号。1958年，创作并演出相声《水兵破迷信》，凭借该作品获全军第一届曲艺会演创作和表演优秀奖。
1959年，在中国人民解放军第二届全国文艺会演上表演相声《昨天》。1961年，因创作和演出成绩显著荣立军功三等功。1962年，赴西藏演出，期间创作了《学藏话》《兵站之家》等相声作品，因创作和演出成绩显著荣立二等功。
1964年，创作并演出相声《说洋》，凭借该作品获全军第二届文艺会演创作和优秀表演奖。1966年，“文化大革命”开始后不久，常宝华受到冲击，被分配到“天津机床厂”当了四年的搬运工人。
1976年，常宝华和侄子常贵田创作并演出了相声《帽子工厂》，该作品成为当时相声直接介入重大社会生活的代表作品之一。1977年，参加全军第四届文艺会演，凭借相声《帽子工厂》《狗头军师张》获创作和优秀表演奖。
1978年，创作相声《四人帮办报》《解剖》《两张照片》《非砸不可》，分别在全国、全军评选中获奖。同年，加入中国共产党。1980年，在全国曲艺短篇作品评选中，相声《帽子工厂》获一等奖，其所在部队因此授予其二等功。
1984年，随中国曲艺团去美国演出。1988年，参加中央电视台春节联欢晚会，与孙子常远合作表演相声《对话趣谈》。
1992年，创作相声小品《追溯》，凭借该作品获中国建设杯相声新作名家邀请赛特别荣誉奖。同年，应邀到新加坡担任说唱艺术大赛评委。
1994年，获中国曲艺家协会主办中国曲艺荟萃伯乐奖。1995年，参加第二届中国曲艺节并演出相声《追溯》，获牡丹奖。2001年，赴嘉兴演出。2005年10月7日，参加纪念郭启儒诞辰105周年相声名家专场晚会第三场。
2006年2月23日，与北京曲艺演员联手倡议抵制“三俗”。4月13日，参加访谈类节目《艺术人生》。8月，常宝华被授予中国曲艺界的最高荣誉——“牡丹奖”终身成就奖。8月10日，参加第四届中国曲艺牡丹奖揭晓活动。10月30日，参加德云社十周年专场演出第二场。12月22日，参加中国艺术研究院曲艺研究所成立20周年纪念活动。2007年1月27日，参加中国曲艺家协会青少年培训基地剪彩揭牌仪式。6月2日，参加吴荻、贾林、祝兆良、梁彦拜连丽如为师，王玥波、李菁拜贾建国为义父仪式。7月7日，参加侯耀文追悼会及遗体告别仪式。7月17日，参加“纪念相声名家侯耀文先生专场演出及侯门弟子贺先生六十冥寿”活动。2008年11月20日，参加范振钰追悼会暨遗体告别仪式。
2009年5月15日，参加李文华追悼会。8月30日，在北大百年讲堂开坛说艺。2012年6月26日，被委任为“北京市禁毒义务宣传员”并颁发证书。7月6日，常宝华参演的电影《搜索》上映，他在电影中饰演公交车老大爷。
2015年8月30日，在北京举行了《沧海一声笑》——的“从艺八十周年专场演出”，师胜杰、石富宽、常贵田等相声演员来捧场献艺。2017年1月，在“启明故事汇”举行义演。同年，参加喜剧竞赛真人秀节目《欢乐喜剧人》的录制。2018年9月7日，常宝华因哮喘病在北京海军总医院去世，享年88岁。
